座標計算 応用編

入門で覚えた公式（距離・方向角・移動・放射・交点・面積・正弦定理）を組み合わせて、試験に出るパターンを解きます。新しい公式は出てきません。パターンは覚えるものではなく、何度か解いて手順に慣れるものです。1 つの節で 1 つのパターン。例題を電卓でなぞってから、ドリルで数字のちがう問題を 2〜3 回解いてください。

もくじ ↑1 内分パターン（比で分ける）

これは何？

「AB を 2 : 3 に内分する点」は、線 AB の内側にあって、AB を 2 : 3 の長さに分ける点です（内側で分けるので「内分」）。

いちばん分かりやすい考え方は、AB を 2 ＋ 3 ＝ 5 つに等しく分けて、A から 2 つ目です。つまり P は、A から B へ全体の 2/5 だけ進んだところです。

試験でどう出るか

試験では、次の 2 つの出方があります。どちらも、最後は「A から B へ、全体の何分のいくつ進むか」にして解きます。

1. 比がそのまま書いてある：「P は AB を 2 : 3 に内分する点」。
2. 面積で書いてある：「△ACP は 120 ㎡、△BPC は 180 ㎡」。このときは、まず面積の比を辺の比に直します（下の図）。

△ACP と △BPC は、てっぺん（C）が同じで、底辺がどちらも直線 AB の上にあります。だから高さが同じです。三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」なので、高さが同じなら、面積の比 ＝ 底辺の比。

比は、120 : 180 のままでも、2 : 3 に約分しても同じ答えになります。電卓に打つなら、そのままで構いません。

電卓では

入門 2-6 で、B − A は「A から B へ行く矢印」でした。この矢印を 2/5 の長さにして、A に足せば P です。

m は A の側の数、m ＋ n は全体です。「A の側 ÷ 全体」だけ進むと覚えます。

合わないときに見る順番：① × の後ろが「A の側の数」、÷ の後ろが「全体（m ＋ n）」か → ② B − A を（ ）で囲んだか → ③ 出発点（＋ の前）が A か

やってみよう（穴埋め）

もくじ ↑2 後退線パターン（セットバック）

これは何？

幅の狭い道路に面した土地では、道路の中心線から決まった距離だけ下がった線までを道路にする、という扱いがあります。多いのは中心線から 2 m（道路の幅を 4 m にする）ですが、幅を 6 m にする指定がある所では 3 m になります。試験では「道路中心線から 2.00 m 後退した線で分筆する」のように、問題文に距離が書いてあるので、その数字を使います。この下がった線が後退線です。

後退線と、土地の両側の筆界との交点（P・Q）を出すのが、このパターンです。

試験でどう出るか

• 問題文に道路の幅員（たとえば 1.86 m）と、「道路中心線から 2.00 m 後退」（3.00 m のこともある）が書いてある。
• 「道路の向こう側の筆界と平行」と書いてあれば、道路中心線も後退線も、こちら側の筆界 AB と平行。
• 求めるのは、後退線と両側の筆界の交点。隅切りと組み合わせて出ることも多い（隅切りの節で扱います）。

考え方 1　後退量（筆界からどれだけ下がるか）

道路中心線は、筆界 AB から道路の幅の半分のところにあります。後退線はそこから問題文の距離（2.00 m など）なので、筆界 AB から見ると、その距離から幅の半分を引いた分だけ、土地の内側に入ります。

たとえば幅員 1.86 m なら、2.00 − 0.93 ＝ 1.07 m。幅員が広いほど、下がる量は小さくなります（2.00 m のとき、幅員 4 m ならちょうど 0）。中心線から 3.00 m で幅員 5.00 m なら、3.00 − 2.50 ＝ 0.50 m です。

考え方 2　後退線の上の点を 1 つ作る

線を交点の公式で使うには、「線の上の点」と「傾き」が要ります。後退線は AB と平行なので、傾きは AB と同じです。あとは後退線の上の点が 1 つあればよいので、A から AB に直角に、後退量だけ土地の内側へ進んだ点 M を作ります（移動の公式）。

直角の向きは、AB の方向角に 90° を足すか引くかです。どちらにするかは、土地がどちら側にあるかで決めます。

M は作図のための点なので、丸めずにメモリ 7（M）にしまいます。

考え方 3　交点を 2 回

後退線（M を通り、傾きは AB と同じ）と、筆界 A–D の交点が P、筆界 B–E の交点が Q です。交点の公式を 2 回使います。2 回目は、メモリ Y（筆界の「傾き ＋ i（アイ）」）を入れ替えるだけです。

答え　P （119.57, 100.35）　Q （125.09, 93.77）

検算　P が A と D のあいだにあるか（−90° を逆にすると、土地の外に出る）

合わないときに見る順番：① 後退量（中心線からの距離 − 幅員 ÷ 2）→ ② ＋90° と −90° の取り違え（P が土地の外に出ていないか）→ ③ 交点の公式の、メモリ X は後退線（AB の傾き）、A のところは M か

もくじ ↑3 隅切りパターン

これは何？

道路の角（交差点）に面した土地は、角を斜めに切り落として道路にすることがあります。これが隅切りです。切り口 PQ の長さを隅切長、角 O から P（Q）までの長さを剪除長（せんじょちょう）といいます。

試験でどう出るか

• 「隅切長 2.00 m」のように切り口の長さが書いてあり、「2 辺の剪除長は等しい」とある（OP ＝ OQ）。
• 角 O が直角とは限らない。O の座標が無く、2 本の線（筆界や後退線）の交点として自分で出すこともある。
• 求めるのは P と Q。前の節の後退線と組み合わせて出ることが多い。

考え方 1　角 φ（2 つの方向角の差）

角 O の大きさは、O から一方の辺への方向角と、もう一方の辺への方向角の差です。

Arg は西側の向きをマイナスで返すので、差が 180° を超えることがあります。そのときは反対側（大きい方）の角を測っているので、360° から引いて小さい方にします。

考え方 2　剪除長（正弦定理）

三角形 O・P・Q で分かっているのは、切り口 PQ（隅切長）と、角 O（φ）です。2 辺の剪除長が等しいので二等辺三角形で、P と Q の角は同じ大きさです。三角形の角は足すと 180° なので、

あとは入門 1-5 の正弦定理に当てはめるだけです。思い出せるよう、もう一度置いておきます。

• 知りたい辺は OP（剪除長）。その向かいの角は Q の角 ＝ (180° − φ) ÷ 2。
• 分かっている辺は PQ（隅切長）。その向かいの角は O の角 ＝ φ。

角が直角（φ ＝ 90°）なら、(180° − 90°) ÷ 2 ＝ 45°、sin 90° ＝ 1 なので、剪除長 ＝ 隅切長 × sin 45°。隅切長 3.00 m なら 3 × 0.707… ＝ 2.12132… m です。

考え方 3　P と Q

P は、O から辺の向きに剪除長だけ進んだ点です（移動の公式）。

O が問題文に無いときは、先に 2 本の線の交点として O を出します（交点の公式）。O は作図のための点なので丸めず、メモリ 9（O）にしまいます。

答え　P （121.63, 121.06）　Q （122.59, 122.82）

検算　Abs(P − Q) が 2.00 に戻るか（2.005）

答え　P （238.43, 349.67）　Q （235.92, 351.66）

検算　Abs(P − Q) が 3.20 に戻るか（3.203）

合わないときに見る順番：① Abs(P − Q) が隅切長に戻るか → ② 角 φ（180° を超えたまま使っていないか）→ ③ 正弦定理の sin の組み合わせ（剪除長の向かいは (180° − φ) ÷ 2、隅切長の向かいは φ）→ ④ O を丸めていないか

もくじ ↑4 垂線パターン

これは何？

点 C から直線 AB に、直角に線を下ろします。その線が AB とぶつかる点 P を垂線の足、CP の長さを垂線の長さといいます。C から AB までの「いちばん近い距離」が、垂線の長さです。

試験でどう出るか

• 「C から筆界 AB に下ろした垂線の足を P とする」と、そのまま書いてある。
• 「AB に直角な線で分筆する」「C から AB までの距離」のように、言い方を変えて出ることもある。どれも、AB に直角な線と AB の交点を出す問題。
• 求めるのは P の座標と、CP の長さ。

考え方 1　垂線の向き

交点の公式で使うには、2 本の線それぞれに「線の上の点」と「傾き」が要ります。1 本目は AB（点 A、傾きは AB の方向角から）。2 本目の垂線は、点は C、向きはAB の方向角に 90° を足した向きです。

90° を足しても引いても、線の向きが逆になるだけで、C を通る線としては同じです。だから後退線のときのような「＋ か − か」は気にしなくてかまいません。

考え方 2　P と CP

あとは入門の交点の公式そのままです。2 本目の線の点のところ（公式の C）に、問題の C を入れます。出た P を丸めてから、CP ＝ Abs(C − P)（距離の公式）。

AB が真北・真南や真東・真西を向いているときは、tan(90°) を計算することになり、電卓がエラーになります。そのときは、P の X か Y が C や A と同じになるので、ドリルの「X か Y が同じ点に気づく」のやり方で出します。

答え　P （141.58, 140.04）　CP 5.09

検算　Arg(C − P) と Arg(B − A) の差が 90° か

合わないときに見る順番：① メモリ Y に「＋ 90」を入れ忘れていないか（入れ忘れると、AB と平行な線になって交点が出ない）→ ② 交点の公式の C のところが C か → ③ P を丸めてから CP を出したか

もくじ ↑5 延長パターン

これは何？

2 本の線の交点 P を出したあと、その線をまっすぐ延ばした先の点 Q を出すパターンです。交点の公式と移動の公式を 1 回ずつ使います。

試験でどう出るか

• 「C から P の方向に延長し、P から 3.00 m の点を Q とする」のように、向きと長さが書いてある。
• P が問題文に無く、先に交点として出すことが多い。

考え方　向きは「行き先 − 出発点」

C から P へ向かう向きは Arg(P − C) です。Q はその向きのまま P から進むので、移動の公式で次のようになります。

Arg(C − P) と逆に書くと、P から C の側へ戻ってしまいます（入門 第2章の「向きは行き先 − 出発点」と同じ）。P は丸めた値を使います（答えとして書く点なので）。

答え　P （167.58, 124.87）　Q （166.82, 127.98）

検算　Abs(Q − C) が Abs(P − C) ＋ 3.20 になるか

合わないときに見る順番：① Arg の引き算の順番（Q が C の側に出ていないか）→ ② P を丸めてメモリ 0（P）に入れ直したか

もくじ ↑6 復元パターン（地積測量図の距離）

これは何？

境界標（筆界の点に埋めた杭や石）が無くなっている点を、前に作られた地積測量図に書いてある辺の長さを使って、元の位置に戻すパターンです。

試験でどう出るか

• 「隣の土地の地積測量図によれば、A–P ＝ 6.234 m」のように、どの点から測った長さかが書いてある。
• P がどの線の上にあるか（「P は AB 上」）も書いてある。
• 出した点で、新しい筆界の辺長を求めさせることが多い。

考え方　起点と向きを読む

読み取ることは 2 つだけです。

• 起点：「A–P」なら A。長さはそこから測る。
• 向き：P が AB 上なら、A から B の向き ＝ Arg(B − A)。

あとは入門の移動の公式です。

起点が反対側の B なら、向きも反対（B から A）になります。

点が 2 つあるときは、点ごとに起点を読み直します。「A–P」と「C–Q」なら、Q は C から測ります。

答え　P （75.74, 93.35）　Q （78.23, 108.98）　PQ 15.83

検算　地積測量図に PQ の辺長が書いてあれば、それと突き合わせる

合わないときに見る順番：① 起点（どの点から測った長さか）→ ② Arg の引き算の順（起点が後ろ）→ ③ P・Q を丸めてから辺長を出したか

もくじ ↑7 面積の近道パターン（台形・三角形）

これは何？

面積は、入門の Conjg の公式でどんな形でも出せます。ただ、辺が真東西や真南北を向いているときは、小学校の台形・三角形の公式の方が速く、打ち間違いも少なくなります。

試験でどう出るか

• 座標の表に、X が同じ点の組（または Y が同じ組）がある。区画整理された土地や、真北に合わせた土地に多い。
• 問題文には「台形」とは書いていない。自分で気づくパターン。
• 本番では Conjg の公式で出して、こちらで検算する、という使い方もできる。

考え方 1　X が同じ → 真東西の線

X は北への座標です。2 つの点の X が同じなら、2 点は同じ高さ（北への位置）に並んでいるので、その辺は真東西を向いています。真東西の辺が 2 本あれば、平行なので台形です。

考え方 2　長さと高さは引き算

• 真東西の辺の長さは、Y の差（東への座標の差）。
• 真東西の 2 本の線の間の距離（高さ）は、X の差。

Y が同じ組なら、東と北が入れ替わるだけです（真南北の辺。長さは X の差、高さは Y の差）。

答え　面積 207.8281 ㎡

検算　Conjg の一般形でも同じ値になるか（検算に使える）

答え　面積 4.6438 ㎡

検算　Conjg で同じ値か

合わないときに見る順番：① 長さに使ったのが Y の差、高さが X の差か（逆にしていないか）→ ② 台形の ÷ 2 を忘れていないか

もくじ ↑8 一点分割パターン（一点からの線で分ける）

これは何？

土地を、ある頂点から、向かい側の辺の上の点 P へ引いた 1 本の線で分けて、決まった面積にするパターンです。P の位置を決めるのが問題です。

試験でどう出るか

• 「A から CD 上の点 P への直線で、面積を二等分する」「△ABP を 120.00 ㎡ にする」のように書いてある。
• 土地が三角形のこともあれば、四角形・五角形のこともある（令和 7 年は五角形）。

考え方 1　三角形なら、面積の比 ＝ 底辺の比

三角形 ABC を A から P への線で分けると、△ABP と △APC は、てっぺん A が同じで、底辺が同じ線 BC の上にあります。高さが同じなので、面積の比はそのまま底辺の比です（1 節の内分パターンと同じ考え方）。

考え方 2　多角形なら、動く三角形だけ取り出す

五角形を線 AP で切ると、2 つの区画に分かれます。分けた区画にはア・イのように名前を付けて呼びます。ここでは B・C を含む方（四角形 A・B・C・P）をア、D・E を含む方をイとして、アを欲しい面積にします。

アに線 AC を引くと、2 つの三角形に分かれます。△ABC は P がどこにあっても変わらない（動かない三角形）ので、先に面積を出して引いておきます。残りを、P が乗っている辺 CD の三角形 △ACP（動く三角形）で作ります。

• 動く三角形に要る面積 ＝ 欲しい面積 − 動かない三角形
• あとは考え方 1 と同じ。P ＝ C ＋ (D − C) × 要る面積 ÷ △ACD

答え　P （93.81, 100.13）

検算　丸めた P で △ABP を出して 66.66 付近か（66.680）

答え　P （191.62, 203.46）

検算　丸めた P でア（A・B・C・P）を出して半分 128.011075 付近か（128.029）

合わないときに見る順番：① 要る面積（欲しい面積 − 動かない三角形）→ ② 内分の出発点と面積が合っているか（B から測るなら、× のうしろは B を含む三角形 △ABP の面積）→ ③ 丸めた P で面積を出し直して、欲しい面積の近くか

もくじ ↑9 軸平行パターン（X か Y が同じ）

これは何？

座標の表に X が同じ点の組（または Y が同じ組）があると、その 2 点を結ぶ線は真東西（または真南北）を向いています。その線の上の点は、X（または Y）がもう分かっているので、計算が半分で済みます。

試験でどう出るか

• 問題文には書いていない。座標の表を見て自分で気づくパターン。
• 気づかずに交点の公式を使うと、真東西の線では tan(90°) で電卓がエラーになる。エラーが出たら、まずこれを疑う。

考え方

• X が同じ（真東西の線）：交点の X はその値。入門 4-6 のとおり、交点の公式の 2 行目 Real((X の値 − C) × メモリ X) だけで Y が出る（メモリ X にはもう 1 本の線の「傾き ＋ i」）。
• Y が同じ（真南北の線）：傾きは 0 なので、交点の公式がそのまま使える。2 行目の答えが分かっている Y に戻るので、確かめになる。
• 真東西の線への垂線：垂線は真南北なので、足の X は線と同じ、Y は元の点と同じ。計算は要らない。

答え　P （118.24, 101.96）

検算　P の X が 118.24 のままか

答え　P （289.12, 296.19）

検算　P が B と C のあいだにあるか（Y が B と C の Y のあいだか）

合わないときに見る順番：① 同じなのは X か Y か（取り違えていないか）→ ② 2 行目の「傾き ＋ i」は、真東西でない方の線か

もくじ ↑10 平行分割パターン（平行線で分ける）

これは何？

土地を、ある辺（AB）に平行な線 PQ で 2 つの区画（AB を含む方をア、残りをイ）に分けて、アを決まった面積にするパターンです。切り口 PQ がどこを通るか（AB からの高さ h）を決めます。

試験でどう出るか

• 「AB に平行な直線で分筆し、(ア) を 150.00 ㎡ とする」のように書いてある。
• 両側の辺が AB に直角なら長方形、そうでなければ台形になる。

考え方 1　両側が直角なら、長方形

アは長方形です。面積 ＝ AB × h なので、h ＝ 面積 ÷ AB。P は A から C の向きに h、Q は B から D の向きに h 進んだ点です（移動の公式）。

考え方 2　両側が斜めなら、台形（二次方程式）

高さ h で切ると、両端が少しずつ内側にずれるので、切り口 PQ は AB より短くなります（角が 90° より大きければ長くなる）。台形の面積を h の式で書くと二次方程式になるので、解の公式で h を出します。式の作り方は例題 2 で、図を見ながら 1 段ずつ追います。

h は AB に直角に測った長さなので、P を出すときは、斜めの辺 AC に沿った長さ（h ÷ sin α（アルファ））に直してから進みます。

答え　P （101.30, 113.25）　Q （111.07, 116.88）

検算　A・B・Q・P の面積を Conjg で出して 97.52 付近か（97.517）

答え　P （109.76, 97.89）　Q （114.71, 105.50）

検算　A・B・Q・P の面積を Conjg で出して 94.27 付近か（94.264）。PQ と AB が平行（Arg が同じ）か

合わないときに見る順番：① 長方形か台形か（両側が直角か）→ ② 解の公式の ± は − の方か → ③ h を辺に沿った長さ（÷ sin）に直したか → ④ 丸めた P・Q で面積を出し直して、欲しい面積の近くか

もくじ ↑11 三角形パターン

これは何？

2 点 A・B が分かっていて、三角形の辺の長さや角から、もう 1 つの頂点 P を出すパターンです。

試験でどう出るか

• 「AP ＝ BP ＝ 8.00 m」（二等辺）や、「∠PAB ＝ 52°、∠PBA ＝ 61°」（2 つの角）のように書いてある。
• P が AB のどちら側か（右か左か、東か西か）も書いてある。

考え方 1　二等辺なら、まん中に垂線（三平方）

AP ＝ BP なら、P から AB に下ろした垂線は、AB のまん中 M に落ちます。直角三角形 A・M・P で三平方を使うと、MP ＝ √(AP² − (AB ÷ 2)²)。P は M から、AB に直角な向きに MP 進んだ点です。

考え方 2　2 つの角が分かっているなら、正弦定理

三角形の角は足すと 180° なので、残りの角 ∠P も出ます。あとは入門 1-5 の正弦定理です。

AP の向かいの角は ∠B、AB の向かいの角は ∠P なので、AP ＝ AB × sin∠B ÷ sin∠P。P の向きは、A から B への方向角に ∠A を足すか引くか（P が右側なら足す、左側なら引く）です。

答え　P （226.25, 234.21）

検算　Abs(P − A) と Abs(P − B) がどちらも 6.87 か

答え　P （107.59, 116.94）

検算　Abs(P − B) を出して、正弦定理の BP ＝ AB × sin∠A ÷ sin∠P と同じか

合わないときに見る順番：① 正弦定理の sin の組み合わせ（辺とその向かいの角）→ ② ∠A を足すか引くか（P が右か左か）→ ③ Abs(P − B) も問題文の条件に合うか

もくじ ↑12 座標変換パターン

これは何？

現地で、その場かぎりの座標（任意の座標）で測った点を、公共座標（登記で使う座標）に直すパターンです。両方の座標が分かっている点（A′ と A、B′ と B）を手がかりにします。

試験でどう出るか

• 任意の座標の表（A′・B′・P′）と、公共座標の表（A・B）が別々に出る。
• A′B′ と AB の長さは同じ（測り方がちがうだけ）。向きは同じこともちがうこともある。

考え方 1　向きも同じなら、平行移動

Arg(B′ − A′) と Arg(B − A) が同じなら、全体をずらすだけです。ずらす量は A − A′（任意の座標から公共座標への矢印）。P ＝ P′ ＋ (A − A′)。

考え方 2　向きがちがうなら、角のずれを移す

任意の座標で、A′ から見た P′ を、距離とA′B′ からの角のずれで読み取ります。公共座標では、A から B の向きに同じずれを足した向きへ、同じ距離だけ進みます（移動の公式）。

答え　P （332.51, 331.11）

検算　B′ ＋ 移動量 が B に一致するか

答え　P （497.13, 506.99）

検算　同じやり方で P′ の代わりに B′ を入れると、B に戻るか

合わないときに見る順番：① 向きが同じか（Arg を両方出して比べたか）→ ② ずれの引き算の順（P′ の向き − B′ の向き）→ ③ 同じやり方で B′ を入れると B に戻るか

もくじ ↑13 トラバースパターン

これは何？

座標の分かっている点（402）から、新しい点（T1・T2）を順に測り進んで、最後にもう 1 つの分かっている点（403）に結ぶ測量を結合トラバースといいます。測った角と距離には少しずつ誤差があるので、計算でたどり着いた 403 は、本当の 403 から少しずれます。そのずれを新しい点に配って、座標を決めるパターンです。

試験でどう出るか

• 観測の表（器械点・後視点・観測点・観測角・距離）と、402・403 の座標、402 から 401 への方向角が出る。
• 配り方は均等法（点の順番に比例）かコンパス法（距離に比例）。どちらかが指定される。

考え方 1　放射を何回もつなぐ

402 に器械を立てて 401 を後視し、1 つ目の点を出すのは入門の放射そのものです。次は、いま出した点に器械を立て、1 つ前の点を後視して次の点を出します。これを 403 まで繰り返します。途中の点は丸めずにメモリにしまいます。

考え方 2　ずれ（補正量）を配る

補正量 ＝ 正しい 403 − 計算した 403（「正しい − 計算」の順）。遠くの点ほど誤差がたまっているので、多く配ります。

• 均等法：観測が 3 回なら、1 つ目の点に 1/3、2 つ目の点に 2/3 を足す。
• コンパス法：402 からその点までの距離の合計 ÷ 全長、の割合を足す。

答え　T1 （111.42, 94.90）

検算　補正量は数 cm 程度か（大きすぎたら、観測角の足し方や後視点の取り違えを疑う）

答え　T1 （83.46, 101.04）　T2 （69.46, 95.43）

検算　均等法とくらべて、遠くの点ほど補正が大きくなっているか

合わないときに見る順番：① 補正量が数 cm 程度か（大きすぎたら、後視点の取り違えや観測角の足し方）→ ② 補正量の引き算の順（正しい − 計算）→ ③ 途中の点を丸めていないか

もくじ ↑パターン一覧

公式は入門の公式一覧のものだけです。パターンは、その公式を使う順番です。